Matematyka Kopernika, czyli kilka słów o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego

Cele lekcji:
Uczeń:
– podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
– podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30◦, 45◦, 60◦
– oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków
– oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach
– uzasadnia proste zależności korzystając z własności funkcji trygonometrycznych
Metody pracy:
- pogadanka
- burza mózgów
- praca w grupach

„Nic piękniejszego nad niebo, które przecież ogarnia wszystko, co piękne”
Mikołaj Kopernik (1473 – 1543)

1. Wprowadzenie:
Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem zależności pomiędzy kątami i bokami trójkątów. Może się wydawać dyscypliną abstrakcyjną i ściśle teoretyczną, trygonometria ma wiele praktycznych zastosowań. Poniżej wymieniono niektóre z głównych zastosowań trygonometrii w różnych dziedzinach nauki:

a) Architektura i budownictwo: Trygonometria jest niezbędna w architekturze i budownictwie, ponieważ pozwala obliczyć wymiary i kąty elementów konstrukcyjnych. Na przykład architekci używają trygonometrii do określenia wysokości budynku, czy nachylenia dachu.
b) Nawigacja i kartografia: Trygonometria jest niezbędna w nawigacji i kartografii, gdyż pozwala określić położenie obiektów.Nawigatorzy używają trygonometrii do obliczania odległości między dwoma punktami na morzu, czy wysokości latarni morskiej.
c) Fizyka i astronomia: Trygonometria jest szeroko stosowana w fizyce i astronomii do wykonywania pomiarów i obliczeń. Na przykład astronomowie używają trygonometrii do określania odległości do gwiazd, położenia planet na nieboskłonie, czy czasu trwania zaćmień.
d) Inżynieria: Trygonometria jest niezbędna w inżynierii, ponieważ pozwala obliczać siły i naprężenia w konstrukcjach. Inżynierowie wykorzystują trygonometrię m.in. do projektowania mostów oraz obliczania wytrzymałości materiałów.
e) Elektronika i telekomunikacja: Trygonometrię wykorzystuje się w elektronice i telekomunikacji do obliczania sygnałów i fal. Funkcja sinus/cosinus może być traktowana jako graficzna reprezentacja dźwięku.

2. Przechodząc do tematu lekcji, warto zauważyć, że Mikołaj Kopernik posiadał matematyczne wykształcenie, które zdobył na Uniwersytecie Jagiellońskim. Wykorzystał je do skonstrułowania tablicy astonomicznej.
Tablica astronomiczna Mikołaja Kopernika jest jedynym zachowanym do dzisiejszych czasów przyrządem, którego używał Mikołaj Kopernik. Tablica ta znajduje się na zamku w Olsztynie, ma rozmiary 7.05 m na 1.4 m i wykonana została na pobiale w technice fresku mokrego prawdopodobnie około roku 1517.
Elementem architektonicznym, mającym wpływ na działanie tablicy, jest wieża zamkowa. W czasach Kopernika wieża pozbawiona była hełmu, a jej wysokość mierzona względem poziomu dziedzińca wynosiła 29.06 m. Wyrażenia opisujące chwilowy zasięg jej cienia na dziedzińcu, można otrzymać wyprowadzając bardzo zaawansowany układ równań opisany funkcjami trygonometrycznymi. Poprzez mały otwór w sklepieniu południowej nawy kościoła wpadał promień słońca rzutując niewielkich rozmiarów obraz słońca na posadzce kościoła. Obserwując z dnia na dzień przesuwanie się promienia słonecznego, można było określić dzień wiosennego zrównania dnia z nocą i wyznaczyć na tej podstawie datę Wielkanocy (tak ważnej dla kościoła katolickiego).

3. Nauczyciel prezentuje równania, które wykorzystane były do wyzaczenia pozornego ruchu Słońca przez Mikołaja Kopernika i przechodzi po sedna, tj. podania określenia funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α do przyprostokątnej przyległej do kąta α.

Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do przyprostokątnej przeciwległej do kąta α.

4. Wykonanie w grupach zadania z Karty Pracy (obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30 st., 45 st. i 60 st.)

5. Podsumowanie lekcji:
Uczniowie powtarzają definicje funkcji trygonometrycznych. Wnioskują na temat istnienia kofunkcji.

6. Zadanie pracy domowej z podręcznika
7. Zakończenie lekcji