Wyznaczanie szerokości rzeki Łyny na podstawie znajomości funkcji trygonometrycznych

Cele lekcji:
Uczeń:
- zna definicję funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym
- umie wyznaczyć i zna wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°
- posługuje się tablicami funkcji trygonometrycznych, potrafi odczytać wartości z tablic

Metody pracy:
- praca grupowa
- pogadanka

Przebieg lekcji:
1. Wstęp:
Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem zależności pomiędzy kątami i bokami trójkątów. Choć może się wydawać dyscypliną abstrakcyjną i teoretyczną, posiada ona wiele praktycznych zastosowań w różnych dziedzinach życia, w których niezbędne jest mierzenie i obliczanie rzeczywistych wielkości. Trygonometria jest również podstawą do wykonywania wszelkich pomiarów na powierzchni ziemi, umożliwia działanie urządzeń nawigacyjnych (GPS), a także pozwala na prowadzenie badań astronomicznych.
Mając do dyspozycji jedynie miarkę i kątomierz możemy np. obliczać wysokości oraz szerokości dowolnych obiektów (gór, drzew, rzek). Dla przykładu, jeden z siedmiu mędrców starożytnej Grecji, filozof i matematyk, Tales z Miletu (640 – 546 p.n.e.) zmierzył w Egipcie wysokość piramid za pomocą długości ich cienia. Według legendy wbił w ziemię kij o znanej długości i gdy długość cienia była równa długości kija, zmierzył długość cienia rzucanego przez każdą piramidę, tym samym określając jej wysokość.
Zdarzają się jednak sytuacje, w których z określonych przyczyn nie można dokonać bezpośredniego pomiaru długości. Rozwiązanie takich problemów jest możliwe dzięki zastosowaniu funkcji trygonometrycznych.
Jak zatem zmierzyć szerokość rzeki mając do dyspozycji miarkę i narzędzie do mierzenia kątów? Wyróżnić możemy tu dwa podejścia:
1. Stoimy na brzegu rzeki w punkcie A i chcemy zmierzyć odległość do przeciwległego brzegu w punkcie C. W tym celu idziemy do dowolnego punktu B tak, by powstał trójkąt prostokątny ABC. Mierzymy długość odcinka AC oraz kąt przy wierzchołku A. Obliczmy szerokość rzeki przy użyciu właściwej funkcji trygonometrycznej.
2. Dwie osoby stoją na brzegu rzeki. Na drugim, równoległym brzegu, w punkcie C znajduje się charakterystyczny punkt (np. drzewo) drzewo. Jedna osoba ustawia się w odległości 5 metrów od drugiej. W ten sposób pierwsza osoba widzi drzewo pod danym kątem w stosunku do brzegu, na którym się znajduje, a druga osoba widzi to samo drzewo pod innym kątem, lecz takim, by suma kątów obranych punktów zagwarantowała nam, że w punkcie C jest kąt prosty.
2. Materiały i metody:
W celu wykonania doświadczenia należy skorzystać ze sznurka oraz taśmy mierniczej (przymiaru lub centymetra krawieckiego). Pomiar każdego odcinka należy powtórzyć trzy razy. Wszystkie pomiary oraz wyniki obliczeń należy zapisać w pukcie 3.
3. Wyniki:
|AC| =
|BC| =
α =
tg α =
|AB| =
Aby obliczyć szerokość rzeki, wystarczy skorzystać ze wzoru opisującego właściwą funkcję trygonometryczną (tj. z definicji odpowiedniej funkcji trygonometrycznej).
Niepewności pomiarowe, z jakimi dokonano pomiarów wynoszą:
Δ |AC| =